ARBEITSGRUPPE

GEOMETRIE

Ich bin ausgebildeter Algebraiker aber geistig bin ich in der Geometrie und Topologie unterwegs, was also bedeutet, ich beschäftige mich mit Gruppentheorie. In anderen Worten untersuche ich Eigenschaften von Räumen sowie deren Symmetrien (wie z.B. Spiegelungen). Das Tolle dabei ist, dass der Begriff "Raum" umfassend verstanden werden kann. Somit bilden gekämmte Igel, Gebäude, klassische geometrische Objekte sowie Konfigurationspläne vielfältige Beispiele von Räumen.

In diesem Forschungsgebiet kann man zahlreiche Probleme und Objekte untersuchen. Beispielsweise kann man sich fragen, ob es Hindernisse (wie z.B. Löcher verschiedener Dimensionen) in einem gegebenen Raum vorhanden sind oder wie gekrümmt er ist. Ferner kann man studieren, was passiert, wenn man sich in dem gegebenen Raum "ewig" bewegt (z.B. "Richtung Unendliches"), oder halt auch, ob wir vorhersagen können, wo ein Objekt im gegebenen Raum hingeht, wenn es sich nur nach bestimmten Regeln bewegt.

Was die Symmetrien des Raums betrifft, kann man sich zum Beispiel fragen, wie viele Symmetrien existieren oder ob wir sie in einer einfachen Art und Weise beschreiben können. Weitere interessante Fragen sind da beispielsweise, wie eine Symmetrie des Raums Objekte da drinnen transformiert oder ob es Objekte dort gibt, die sich unter der gegebenen Symmetrie gar nicht umwandeln lassen. Man kann sogar den Zusammenhang zwischen zwei verschiedenen Mengen von Symmetrien studieren!

In Fachbegriffen ausgedruckt: ich betreibe kombinatorische bzw. geometrische Gruppentheorie. Dazu untersuche ich eng verwandte Fragen aus der niedrig dimensionalen Topologie. Gruppenpräsentierungen, kohomologische Endlichkeitseigenschaften, Reidemeisterklassen und algorithmische Probleme bilden Beispiele spezifischer Fragen, die ich untersucht habe bzw. noch untersuche. Insbesondere mag ich sehr gerne geometrische, topologische, homologische, kombinatorische and algorithmische Aspekte von Gruppen sowie von Räumen, auf denen die Gruppen wirken.

Eigentlich finde ich viele verschiedenen Familien unendlicher Gruppen interessant, unter anderen: Matrizengruppen (algebraische und Lie-Gruppen, (S-)arithmetische Gruppen, Coxeter-Gruppen, ...), Thompsons Gruppen und ihre Verwandten, sowie lokal-kompakte (insbesondere proendliche) Gruppen. In der Topologie machen mir Dinge wie Knoten und Verschlingungen (und Verallgemeinerungen davon) eine Menge Spaß.

Da ich in der Forschung als Mitglied des "Theory of Computation"-Teams der Uni Brasília angefangen habe, interessiere ich mich auch für formelle Methoden in der Mathematik sowie für maschinengestützte Beweise. Kürzlich habe ich auch Interesse an sogenannten Costas-Arrays, also Permutationsmatrizen mit netter Verteilung ihrer Einsen.